Wärmebrücken & Dampfdiffusionsbrücken Programm AnTherm Version 6.115 - 8.133 

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Grundlagen und Theorie vom AnTherm

Numerische Lösung

Die im AnTherm benutzte Berechnungsmethode der finiten Differenzen baut auf der Unterteilung des wärmeleitenden Kontinuums in eine orthogonale Zellenstruktur. Jede Zelle in dieser Rechengeometrie wird als ein Knotenpunkt des thermischen Netzwerkes betrachtet und ist, im typischen Fall, mit weiteren sechs Nachbarknoten (Nachbarzellen) verbunden. Die Wärmeleitung dieser Verbindungen ist von der Größe der Zellen und der Leitfähigkeit des Baustoffes welches die einzelnen Zellen "ausfüllt" abhängig. Sodann muss die Zellenstruktur so bestimmt werden, dass jede Zelle eindeutig einem bestimmten, homogenen Baustoff zugeordnet werden kann.

Berechnungs-Geometrie Die Berechnungsgeometrie entsteht durch die Rasterung der Geometrie des zu berechnenden Bauteilmodells. Eine bestimmte Rasterstruktur ergibt sich durch die Unterteilung des Modells mit einer Reihe von Rasterebenen welche entlang der Baustoffgrenzen liegen und weiteren in bestimmten Intervallen (die Zahl und der Abstand sind von der gewünschten Genauigkeit der Analyse abhängig) parallel zu den Koordinatenachsen.

Sobald das Rechennetz ausreichend für eine Berechnung definiert ist erstellt das Programm das entsprechende System der linearen Gleichungen automatisch. Das Gleichungssystem braucht nun mit einer numerischen iterativen Methode gelöst zu werden (Überrelaxation).

Relaxations-Faktor Die Konvergenz der im AnTherm benutzten Überrelaxationsmethode ist zur stark vom Wert des Relaxationsfaktors ω abhängig. Anfänglich ist nur der Wertebereich bekannt:

1 ≤ ω < 2

Der "optimale Wert" von ω ist als jene konstante Größe definiert, welche die beste Konvergenz der Rechenmethode liefert. Dieser Wert ist vom Fall zum Fall anders und ist zunächst nicht bekannt.

Sobald das Gleichungssystem des Model aufgebaut ist wird dieses im ersten Teil der Berechnung zunächst untersucht. In einem iterativen Verfahren wird ein Näherungswert des "Optimalwertes" bestimmt - das ω0. Dieser Arbeitsschritt kann durch zwei Steuerparameter beeinflusst werden (diese werden im Fenster "Solver-Parameter" festgelegt):

  • Die Abbruchbedingung der Bestimmung von ω0 wird erfüllt, wenn der Absolutbetrag der Differenz zwischen dem zuletzt berechneten Wert von  ω0 und dem im vorangehenden Iterationsschritt "alten" Wert unterhalb eines bestimmten Limits liegt - dann wird ω0-Bestimmung als gelöst angenommen. Dieses Grenzwert wird in den Solver-Parametern OMEGAO_DELTA benannt.
  • Eine weitere Abbruchbedingung ergibt sich aus der Höchstzahl der iterativen Schritte nach welchen die Berechnung beendet wird und der zuletzt ermittelte Wert von ω0 als optimal für die darauf folgende Phase der Berechnung übernommen wird. Diese Höchstzahl der Iterationen ist OMEGAO_STOP benannt.

Eine weitgehend präzise Bestimmung von ω0 (z.B. durch das Setzen einer strengeren Abbruchbedingung oder Erhöhung der zulässigen Iterationszahl und damit Erhöhung der notwendigen Rechenzeit) ist im Normalfall nicht notwendig, da der Wert von ω0 lediglich als ein Eingangsparameter für den tatsächlich benutzten Relaxationsfaktor ω dient - der letztere wird dann bei jeder Iteration der eigentlichen Lösungsermittlung ständig verändert.

Variation des Relaxations-Faktors Der Wertebereich der Variation von ω,

ωmin ≤ ω < ωmax

ist vom ω0 für den unteren Wert des Bereichs abhängig und wird nach folgender Formel ermittelt:

ωmin = ω0 - k • (ω0 - 1) • (ω0 -2),

wobei k hier ein vordefiniertes Parameter aus dem Bereich -1 bis 0 ist.

Da k negativ ist (ωmin < ω0), führt die Angabe eines betragsmäßig größeren Wertes von k zur größeren Differenz zwischen ωmin und ω0, und somit auch zum größeren Werteintervall. Dieser Parameter ist das OMEGA_MIN.

Die obere Grenze des Variationsbereichs von ω, das ωmax, ist eine Zahl zwischen ω0 und 2. Dieser Parameter ist OMEGA_MAX.

Die erste Iteration der Lösungsphase wird mit dem Wert ω = ωmin ausgeführt. Danach wird bei den weiteren Iterationsschritten der Relaxationsfaktor geringfügig erhöht bis entweder der Wert von ωmax erreicht ist oder der Ablauf zu divergieren beginnt, wonach ω auf das ωmin zurückgesetzt wird und der iterative Lösungsablauf setzt sich so fort..

Die Anstiegswerte der Variation von ω sind selbst ebenfalls veränderlich: geringen Werte von ω werden schnell durchlaufen, aber die Anstiegswerte verringern sich asymptotisch gegen 0 als das ω sich dem Wert von 2 nähert. Die Anstiegswerte werden so bestimmt, dass der Optimalwert ω0 nach einer bestimmten Zahl der Iterationsschritte erreicht wird, beginnend bei ωmin. Die voreingestellte Zahl der Schritte ist verhältnismäßig gering und als OMEGA_WEIGHT=-3 gesetzt.

Wie bereits gesagt, ω wird auf ωmin zurückgesetzt sobald die iterativen Ergebnisse (deutlich) zu divergieren drohen. Als Indikator der Konvergenz oder Divergenz des Prozesses wird der Absolutbetrag, Δmax, benutzt, d.h. die Abweichung der Ergebnisse von einer zur nächsten Iteration. Ein Mittelwert von Δmax wird für die letzten n Iterationsschritte berechnet und kontinuierlich mit dem aktuellen Δmax verglichen. Die Zahl der Iterationsschritte welche in dem vergleich des Mittelwerts einbezogen werden ist auch als Solver-Parameter OMEGA_TESTNUM vorgegeben.

Die Berechnung wird als divergierend betrachtet wenn Δmax gleich oder größer als der als Vergleichsgröße benutzte Mittelwert ist. Es wäre allerdings unpraktisch den Relaxationsfaktor sofort bei Erfüllung dieser Bedingung in einem Iterationsschritt zurückzusetzen. Stattdessen muss die Bedingung der Divergenz über eine bestimmte Zahl der Schritte kontinuierlich zutreffen. Diese Zahl ist ein weiteres Kriterium welches erfüllt sein muss bevor das  ω zurückgesetzt wird. Diese Standardzahl der Mindestiterationen vor dem Zurücksetzen ist mit 23 vordefiniert (als OMEGA_VETO).

Das Gleichungssystem wird als endgültig gelöst betrachtet, wenn die Abweichung, Δmax, kontinuierlich, über eine bestimmte Zahl von Iterationen, kleiner als der vorgegebene Grenzwert ist. Diese Zahl der Iteration ist als TERM_NUM definiert.

Zuletzt, um die Berechnungsergebnisse zu "glätten" wird eine Zahl von "Nachlauf-Iterationen" mit dem konstanten Relaxationsfaktor, ω = 1 (OMEGA_POSTRUN=1.0) ausgeführt. Diese Größe des Faktors sollte nicht erhöht werden um den Glättungseffekt des "Nachlaufs" nicht zu vermindern. Die Zahl der Nachlauf-Iterationen ist mit POSTRUN=15 definiert.
 

Genauigkeit der Ergebnisse Zusammenfassend haben drei primäre Faktoren den Einfluss auf die Genauigkeit der Rechenergebnisse:

Die ersten zwei Einflussgrößen stehen unter der direkten Kontrolle des Benutzers obzwar die Standardeinstellungen, welche durch AnTherm benutzt werden, für die Berechnung und Auswertung der meisten Modelle zutreffend und passend gewählt wurden.
 


 Wärmebrücken in 2D und 3D berechnen und untersuchen mit AnTherm®  

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2017-03-22 12:04 +0100